某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，，为的两个端点，测得点到，的距离分别为5千米和40千米，点到，的距离分别为20千米和2.5千米，以，在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中，为常数）模型．
（1）求，的值；
（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为．
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．