由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．
①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；
③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.

设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
（Ⅰ）当时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是偶数；当不同时，是奇数．求集合中元素个数的最大值；

已知集合.
（1）证明：若，则，；
（2）证明：若，则，并由此证明中的元素若满足，则；
（3）设，试求满足的所有的可能值.

已知集合，则满足条件的集合的个数为

A．

B．

C．

D．

全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数一定为偶数；
④若，则.
其中正确命题的个数是（   ）

A．1

B．2

C．3

D．4