(Ⅰ)求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

(Ⅱ)若函数 $F\left(x\right)=f\left(x\right)+\text{ln}\sqrt{2}$ 有两个极值点 $x_1,x_2$ 且 $x_1<x_2$ ，求证 $F\left(x_2\right)>\frac{1}{4}$ ．

    陶公^①性检厉^②，勤于事。作荆州时，敕船官悉录锯木屑，不限多少。咸不解其意。后正会^③，值积雪始晴，听事^④前除^⑤雪后犹湿，于是悉用木屑覆之，都无所妨。官用竹，皆令录厚头，积之如山。后桓宣武伐

    蜀，装船，悉以作钉。又云，尝发所在竹篙，有一官长连根取之，仍^⑥当足。乃超两阶^⑦用之。

选自《世说新语·政事》

【注】①陶公：指陶侃。侃字士衡，庐江寻阳（今江西）人。少孤贫，积功至荆州刺史。成帝时，封才郡公。②检厉：检束严格，办事认真。③正会：皇帝元旦朝会群臣、接受朝贺的礼仪。④听事：厅堂。指官府办公的大堂。⑤除：台阶。⑥仍：乃，于是。⑦阶：官阶。