如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；
(3)在(2)中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO₁E₁，再将△BO₁E₁沿着直线O₁H平移，得到△B₁O₂E₂，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B₁，F为顶点的四边形是以B₁H为边的菱形．若存在，直接写出点B₁的横坐标；若不存在，请说明理由．