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阅读材料，完成下列要求。

    海昏侯刘贺，汉武帝刘彻孙子。刘贺继承父位，被立为昌邑王。曾经当过二十七天的皇帝，宣帝时降封为海昏侯，移居豫章郡（今南昌）。

材料

   自2011年开始考古发掘至今，地处江西南昌的海昏侯墓，已经出土了2万多件文物。大致可以分为以下几类：一是金丝玉剑、马蹄金、金饼、麒麟金等；二是10余吨五铢钱、青铜器、漆木器等。其中漆木器纹饰精美，数量繁多；三是编钟、编磬、排箫、笙和乐俑等；四是孔子屏风（描绘有孔子画像）、成堆的简牍等；五是雁鱼灯、虫草、铜火锅和酿酒所用的蒸馏器等。参与此次考古发掘的专家组如此评价这座大墓：“如此完整的西汉列侯等级墓葬，在中国考古学史上属首次发现，对于研究西汉列侯政治、经济等情况价值巨大。从目前来看，海昏侯墓已经基本达到了申请世界文化遗产所要求的标准。”

──引自新浪财经《海昏侯墓：穿越2000年的石破天惊》

请你参与并协助他们完成相关学习任务．

该组同学的研究课题是：探究测定草酸晶体(H₂C₂O₄•xH₂O)中的x值．通过查阅资料和网络查寻得，草酸易溶于水，水溶液可以用酸性KMnO₄溶液进行滴定．学习小组的同学设计了滴定的方法测定x值．

①称取2.520g纯草酸晶体，将其制成100.00mL水溶液为待测液．

②取25.00mL待测液放入锥形瓶中，再加入适量的稀H₂SO₄．

③用浓度为0.1000mol•L^-1的KMnO₄标准溶液进行滴定，达到终点时消耗20.00mL．

如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．

（1）求$\overrightarrow{BN}$的长；

（2）求cos（$\overrightarrow{B{A}_1}$•$\overrightarrow{C{B}_1}$）的值；

（3）求证A₁B⊥C₁M．