如图所示，的两直角边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，抛物线经过点，且顶点在直线上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把沿轴向右平移得到，点，，的对应点分别是、，，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理 由；
（3）在（Ⅱ）的条件下，连接．已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．若点是线段上的一个动点（点与点，不重合），过点作交轴于点，连接，，设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点的坐标；若不存在，请说明理由．