阅读材料，回答下列问题。

材料一　环渤海经济圈是中国乃至世界上城市群、工业群、港口群最为密集的区域之一。该经济圈土地占全国比例约为5.4%，人口约为17.5%，国民生产总值约占26.2%。

材料二 “环渤海部分地区矿产、交通示意图”(图甲)。

材料三 2015年2月18日，中央气象台发布雾霾预报：今日，我国华北、黄淮等地又将出现雾霾天气(图乙)。据研究表明，雾霾天气形成的根本原因在于污染物排放量大，污染源主要有：工业生产排放的各种有害物质，燃煤排放物，机动车尾气排放和建筑工地的扬尘。

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=$x^2$+bx+c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP’C，那么是否存在点P，使四边形POP’C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.