如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+2x+c与x轴交A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积；
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

已知抛物线L：y＝x²+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；
（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C
（0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．
（1）   求这个二次函数的解析式；
（2）   是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）   在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．

已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A，，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转得到线段BD，抛物线、经过点D．
如图1，若该抛物线经过原点O，且．
求点D的坐标及该抛物线的解析式；
连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得与互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足与互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围______．

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．
(1)求此抛物线解析式；
(2)如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．

如图，P（m，n）是抛物线y=﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．
（1）（探究）填空：当m=0时，OP=　  　，PH=　  　；当m=4时，OP=　  　，PH=　  　．
（2）（证明）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
（3）（应用）当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标．

已知抛物线的表达式是y=ax²+（1﹣a）x+1﹣2a（a为不等于0的常数），上述抛物线无论a为何值始终经过定点A和定点B；A为x轴上的点，B为第一象限内的点．
（1）请写出A，B两点的坐标：A（　  　，0）；B（　  　，　  　）；
（2）如图1，当抛物线与x轴只有一个公共点时，求a的值；
（3）如图2，当a＜0时，若上述抛物线顶点是D，与x轴的另一交点为点C，且点A，B，C，D中没有两个点相互重合．
求：①△ABC能否是直角三角形，为什么？
②若使得△ABD是直角三角形，请你求出a的值．（求出1个a的值即可）

我们约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“正垂形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“正垂形”的有　  　；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　  　“正垂形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD，当≤OE≤时，求AC²+BD²的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“正垂形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．试直接写出满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①；  ②；  ③“正垂形”ABCD的周长为12．

如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求PE的长最大时m的值．
(3)Q是平面直角坐标系内一点，在(2)的情况下，以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S_△DCB＝S_△ABC时，求点D坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．