用如图所示的装置，在蒸馏烧瓶中装有冰醋酸、乙醇、浓硫酸和沸石水浴加热，粗制乙酸乙酯。反应一段时间后，将粗产品倒入装有水的烧杯中，液体分为两层，现用两种方法检验乙酸乙酯层和水层：

第一种方法是加入几滴KMnO₄溶液，结果两层都没有颜色，无法区别；
第二种方法是加入少量碘片，结果是上层液体呈紫红色。
在这个实验中：
(1)水浴的作用是_________________，装置X的名称是__________________。
(2)水流经冷凝管时，应从________________ (填“a”或“b”)口进入。
(3)烧杯中乙酸乙酯在____________层，根据是____________________，加入几滴KMnO₄溶液后，水层不显紫色，是因为______________________。
(4)粗制乙酸乙酯经过提纯，可得到纯净的酯，提纯的操作方法是________________________。