在海上有一种浮桶式波浪发电灯塔，其原理如图甲所示。浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上。密闭浮桶的内置线圈与浮筒保持相对静止，随着波浪上下起伏，线圈相对于磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中。浮桶下部始终浸没在海水中，且上部始终没有进入海水中，其外侧圆周的横截面积（如图乙中阴影部分所示）为S。

（1）己知浸在海水中的浮桶受到竖直向上的浮力，浮力大小的表达式为F_浮=ρgV_排，其中海水的密度为ρ，g为重力加速度，V_排为浮桶排开海水的体积。
a．忽略海水对浮桶的阻力，试证明浮桶在重力和浮力作用下的自由振动是简谐运动，并写明回复力系数k的表达式；
b．若某次自由振动中的振幅为0.6m，周期为6s，且t=0时，浮桶位于振动的最低点，以向上为正方向，试写出这次振动过程的位移表达式。
（2）已知海浪的周期始终为T=3.0s，海水的密度为ρ=10³kg/m³。浮桶外侧圆周的横截面积（如图乙中阴影部分所示）为S=0.20m²。内置线圈的匝数N=200，固定磁体在线圈所处位置产生的辐向磁场的磁感应强度大小为B=0．20T，线圈直径D=0.40m，总电阻r=1.0Ω，该线圈与阻值R=15Ω的灯泡相连。取重力加速度g=10m/s²，且π²=10。
a．已知浮筒作简谐运动的固有周期公式为，其中m为振子质量，k为回复力系数。浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动，当浮桶及线圈的总质量m为多大时，该浮桶式波浪发电机的发电功率达到最高？
b．若浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动，振动的位移可表示为。试求此时灯泡的实际电功率P。