如图所示，一劲度系数为k的绝缘轻弹簧的左端固定，右端与一带正电的小球相连接，小球套在光滑绝缘的水平杆上，小球的电量为＋q，质量为m，小球所在的空间有一个足够大的水平向右的强电场、电场强度大小为E，小球静止在水平杆上的O点。现将小球拉到O点右侧距离为A的位置，由静止释放，此后运动过程中始终未超过弹簧的弹性限度。规定平衡位置为电势能和弹簧弹性势能的零点。以平衡位置为坐标原点建立如图所示的水平向右的一维坐标系Ox。

（1）从运动与相互作用观点出发，解决以下问题：
a．求小球处于平衡状态时弹簧相对原长的伸长量s；
b．证明小球做简谐运动；
（2）图像法和比较法是研究物理问题的重要方法，例如：①从教科书中我们明白了由v-t图像求直线运动位移的思想和方法；②从机械能的学习，我们理解了重力做功的特点并进而引入重力势能，由此可以得到重力做功与重力势能变化量之间的关系。请你借鉴此方法，从功与能量的观点出发，解决以下问题：
a．小球运动过程中，小球相对平衡位置的位移为x时，证明系统具有的电势能E_P电和弹性势能E_p弹的总和E_P的表达式为。
b．根据小球运动过程中速度v与相对平衡位置的位移x的关系式，画出小球运动过程中速度随振动位移变化的v-x图像，并求解小球在运动过程中回复力做正功的功率P的最大值；
（3）已知小球运动的周期为（此结论仅允许本问使用）。结合第（2）问的能量分析，从冲量、动量的观点出发，解决以下问题：
小球从x＝＋A处由静止释放至第一次达到平衡位置的过程中，求：
a．弹簧对左端固定点的弹力冲量I的大小；
b．弹簧对小球的弹力对时间的平均值的大小。