请认真阅读材料，并解决下面问题：
（1）以 a 、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、 E 、 B 三点在一条直线上， B 、 F 、C 三点在一条直线上， C 、G 、D 三点在一条直线上。容易得到：四边形 ABCD 和四边形 EFGH 均是正方形；请用两个不同的代数式    和    表示正方形ABCD 的面积；于是可得到直角三角形关于三边的一个重要的等量关系是    （用含字母 a 、b 、 c 的最简式子填空）

（2）如图，已知正方形 ABCD 中，ÐMAN = 45° ，ÐMAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点 M 、 N ， AH ^MN 于点 H 。请问： MN 与BM 、 DN 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）如图，在（2）的情况下，
①请判断 AH 与 AB 之间的数量关系，并说明理由；
②已知 AH = 12 ，若 N 还是CD 的中点，结合（1）的结论，求 BM 的长。