已知二次函数y=x²+2x+与x轴有两个交点，且k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当二次函数y=x²+2x+图象经过原点时，直线y=3x+2与之交于A、B两点，若M是抛物线上在直线y=3x+2下方的一个动点，△MAB面积是否存在最大值？若存在，请求出M点坐标，并求出△MAB面积最大值；若不存在，请说明理由.
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个新图象.若直线y=kx+2（k>0）与该新图象恰好有三个公共点，求k的值．