如图，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.

（1）求该抛物线的函数关系式.
（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥轴交抛物线于D，
过B作BC⊥轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S.
① 求S与之间的函数关系式.
② 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.