如图①，在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=（x+k）（x﹣3）交x轴于点A、B（A在B的右侧），交y轴于点C，横坐标为2k的点P在抛物线C₁上，连结PA、PC、AC，设△ACP的面积为S．
（1）求直线AC对应的函数表达式（用含k的式子表示）．
（2）当点P在直线AC的下方时，求S取得最大值时抛物线C₁所对应的函数表达式．
（3）当k取不同的值时，直线AC、抛物线C₁和点P、点B都随k的变化而变化，但点P始终在不变的抛物线（虚线）C₂：y=ax²+bx上，求抛物线C₂所对应的函数表达式．
（4）如图②，当点P在直线AC的下方时，过点P作x轴的平行线交C₂于点F，过点F作y轴的平行线交C₁于点E，当△PEF与△ACO的相似比为时，直接写出k的值．