如图1，已知抛物线C₁：与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与轴的交点为C（0，-3），其顶点为D．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，将△OBC沿轴向右平移m个单位长度（0﹤≤）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分（四边形BPGQ）的面积记为S，用含m的代数式表示S；
（3）如图2，将抛物线C₁平移，使其顶点为原点O，得到抛物线C₂.若直线与抛物线C₂交于S、T两点，点是线段ST上一动点（不与S、T重合），试探究抛物线C₂上是否存在一点R，点R关于点N的中心对称点K也在抛物线C₂上.