A：$\forall x\in R$ 且x≠0有$f(-x)=(-x)+\frac{1}{-x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right)=-f\left(x\right)$ ，则 f(x) 是奇函数

B：$\forall x\in R$ 且x≠0有$f\left(x\right)+f(-x)=x+\frac{1}{x}+(-x)+(-\frac{1}{x})=0$ ，所以f(x)=-f(-x) ，则 f(x) 是奇函数

C：$\forall x\in R$ 且x≠0，∵ $f\left(x\right)\ne 0$ ，∴ $\frac{f(-x)}{f\left(x\right)}=\frac{-x-\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}=-1$ ，∴ f(-x)=-f(x) ，则 f(x) 是奇函数

D：取x=-1, $f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2$  ，又$f\left(1\right)=1+\frac{1}{1}=2$ ,f(-1)=-f(1) ，则 f(x) 是奇函数