如图，已知抛物线 y = -x² +bx +c 的图象与 x 轴交于 A(-1, 0) 、 B (4, 0) 两点， 与 y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，点 M 从O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点运动（运动到 B 点停止），过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 P ，交 BC 与点Q .

（1）求抛物线的解析式；
（2）设当点 M 运动了t （秒）时，四边形OBPC 的面积为 S ，求 S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
（3）在线段 BC 上是否存在点Q ，使得DDBQ 成为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.