已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞

题干

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．

（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；

（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？

上一题下一题 0.0难度选择题更新时间:2019-02-11 10:12:21

解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），

∴f（x）=0（x＞0）就是这样的函数（也可用f（x）=log₂x）．

（Ⅱ）类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

证明：设0＜x₁＜x₂，则 {