已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）．（Ⅰ）求证：函数f（x）是奇函数；（Ⅱ）如果当x∈（﹣1，0]时，有f（x）＜0，试判断

题干

已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）．

（Ⅰ）求证：函数f（x）是奇函数；

（Ⅱ）如果当x∈（﹣1，0]时，有f（x）＜0，试判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明你的判断；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若a﹣8x+1＞0对满足不等式f（x﹣

1

2

）+f（

1

4

﹣2x）＜0的任意x恒成立，求a的取值范围．

上一题下一题 0.0难度选择题更新时间:2019-12-08 10:50:16

解：（Ⅰ）由题可知，函数y=f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称；

对于f（x）+f（y）=f（x+y）．

令y=x=0，可得2f（0）=f（0），从而f（0）=0，

再令y=﹣x，可得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），

所以y=f（x）为（﹣1，1）上的奇函数；

（Ⅱ）y=f（x）为（﹣1