已知椭圆的左焦点为F₁，右焦点为F₂．若椭圆上存在一点P，满足线段PF₂相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF₂的中点，则该椭圆的离心率为（   ）

A：$\frac{\sqrt{5}}{3}$

B：$\frac{1}{3}$

C：$\frac{\sqrt{3}}{6}$

D：$\frac{\sqrt{2}}{3}$