如图所示，一质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端竖直杆的A、B两点上，当两轻绳伸直时，a绳与杆的夹角为30°，b绳水平，已知a绳长为2L，当竖直杆以自己为轴转动，角速度ω从零开始缓慢增大过程中（不同ω对应的轨迹可当成温度的圆周运动轨迹），则下列说法正确的是（   ）

A：从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为0

B：从开始至b绳伸直但不提供拉力时，小球的机械能增加了mgL $\frac{\sqrt{3}}{6}$

C：从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为mgL（2﹣ $\frac{5\sqrt{3}}{6}$ ）

D：当ω= $\sqrt{\frac{g}{L}}$ 时，b绳未伸直