如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，求正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的面积为（   ）

A：$\frac{1}{4}a$

B：$\frac{1}{2}{a}^2$

C：$\frac{1}{4}{a}^2$

D：$\frac{1}{3}{a}^2$