如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（   ）

A：$\frac{1}{5}$

B：$\frac{\sqrt{15}}{4}$

C：$\frac{2\sqrt{6}}{5}$

D：$\frac{1}{4}$