物体自楼顶处自由落下（不计空气阻力），落到地面的速度为v．在此过程中，物体从楼顶落到楼高一半处所经历的时间为（   ）

A：$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)v}{g}$

B：$\frac{v}{2g}$

C：$\frac{\sqrt{2}v}{2g}$

D：$\frac{\left(2-\sqrt{2}v\right)}{2g}$