已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且在x∈[0，1]时，f（x）=x，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个公共点，则k的取值范围是（   ）

A：$\left(0,\frac{1}{2}\right)$

B：$(0,\frac{1}{2}$

C：$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

D：$\frac{1}{4},\frac{1}{2})$