如图，可视为质点的小球位于半圆柱体左端点A的正上方某处，以初速度v₀水平抛出，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为30°，则半圆柱体的半径为（不计空气阻力，重力加速度为g）（   ）

A：$\frac{2\sqrt{3}{v}_0{}^2}{3g}$

B：$\frac{2\sqrt{3}{v}_0{}^2}{9g}$

C：$\frac{\left(4\sqrt{3}-6\right)v_0^2}{g}$

D：$\frac{\left(4-2\sqrt{3}\right)v_0{}^2}{g}$