下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图， $Rt△ABC$ 的内切圆与斜边 $AB$ 相切于点 $D$ ， $AD=3$ ， $BD=4$ ，求 $△ABC$ 的面积.

解：设 $△ABC$ 的内切圆分别与 $AC$ 、 $BC$ 相切于点 $E$ 、 $F$ ， $CE$ 的长为 $x$ .

根据切线长定理，得 $AE=AD=3$ ， $BF=BD=4$ ， $CF=CE=x$ .

根据勾股定理，得 ${\left(x+3\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2={\left(3+4\right)}^2$ .

整理，得 $x^2+7x=12$ .

所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC$

$=\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(x+4\right)$

$=\frac{1}{2}\left(x^2+7x+12\right)$

$=\frac{1}{2}\times \left(12+12\right)$

$=12$ .

小颖发现 $12$ 恰好就是 $3\times 4$ ，即 $△ABC$ 的面积等于 $AD$ 与 $BD$ 的积.这仅仅是巧合吗?

请你帮她完成下面的探索.

已知： $△ABC$ 的内切圆与 $AB$ 相切于点 $D$ ， $AD=m$ ， $BD=n$ .

可以一般化吗？

在集气瓶内放入一装有少量酒精（C₂H₅OH）的蒸发皿，先点燃蒸发皿内的酒精，再将经打磨过的光量镁条伸入集气瓶内点燃，可看到镁条剧烈燃烧，在瓶底白色固体粉末中夹杂着少量黑色固体，用足量的盐酸处理，结果发现白色物质溶解，黑色物质不溶，由此他猜测：黑色物质是原来镁条中所含的杂质，乙同学没有轻易赞同甲同学的意见，他通过查找资料，知道，镁与空气中的O₂、N₂、CO₂都会发生反应，他推断：这黑色物质是碳，请回答下列问题：

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