已知 a>b>0 ，则下列不等式一定成立的是（   ）

A：$a+\frac{1}{b}>b+\frac{1}{a}$

B：$a+\frac{1}{a}\ge b+\frac{1}{b}$

C：$\frac{b}{a}\ge \frac{b+1}{a+1}$

D：$b-\frac{1}{b}\ge a-\frac{1}{a}$