题干

已知函数f(x)=lnx﹣x+a有且只有一个零点.
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈(1,+∞),有2f(x)<
k
x
﹣x+2恒成立,求实数k的最小值;
(3)设h(x)=f(x)+x﹣1,对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),证明:不等式
x
1
-
x
2
h
(
x
1
)
-
h
(
x
2
)
>x1x2恒成立.
上一题 下一题 0.0难度 选择题 更新时间:2018-07-01 09:11:23

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【解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=
1
x
﹣1.由f'(x)=0,得x=1.∵当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(﹣a,1上是增函数,在区间1,+∞)上是减函数,∴f(x)在x=1处取得最大值.由题意知f(1)=﹣1+a=0