如图，在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AD，A₁D₁的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A₁B₁C₁D₁上运动，则线段MN的中点P在二面角A—A₁ D₁—B₁内运动所形成的轨迹（曲面）的面积为（   ）

A：$4\mathrm{\pi }$

B：$\mathrm{\pi }$

C：$\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

D：$2\mathrm{\pi }$