题干
已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S1，满足S1≤120，且S1要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S2）；如此继续构成第三批（其数字之和为S3）；第四批（其数字之和为S4）；…直到第N批（其数字之和为SN）取完所有卡片为止．
（1）判断S1，S2，…，SN的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？
（2）当n=1，2，3，…，N﹣2时，求证： Sn<
；
| n |
（3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11．
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解：（1）对于任意满足条件的有限张卡片，满足S1≥S2≥…≥SN；假设每批取出卡片不多于3张，则这3张卡片上的数之和不大于90，而剩下的每个数不大于30，由已知条件知，应该选4张，与假设矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片数为4张．（2）证明：当取出第n批后，因为n=1，2，3，…，N﹣2，此时第n+1批卡片还没取完，此时余下的每个数必大于120﹣Sn+1，余下数之和更大于120﹣Sn+1，即10
