下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（     ）

A：$f\left(x\right)=e^x-1$

B：$f\left(x\right)=x+x^{-1}$

C：$f\left(x\right)=x-x^{-1}$

D：$f\left(x\right)=-\left|\sin x\right|$