记max{x，y}表示x，y两个数中的最大值，例如max{1，2}=2，max{7，7}=7，则关于x的一次函数y=max{2x，x+1}可以表示为（   ）

A：y=2x

B：y=x+1

C：$y=\{\begin{array}{c}2x(x<1)\\ x+1\left(x\ge 1\right)\end{array}$

D：$y=\{\begin{array}{c}2x(x>1)\\ x+1\left(x\le 1\right)\end{array}$