已知两曲线f（x）=

1

2

x²+ax与g（x）=2a²lnx+b有公共点，且在该点处有相同的切线，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（   ）

A：e ${}^{\frac{1}{2}}$

B：2e ${}^{\frac{1}{2}}$

C：e ${}^{\frac{2}{3}}$

D：$\frac{3}{2}$ e ${}^{\frac{2}{3}}$