若 x,y∈R ，且 f(x+y)=f(x)+f(y) ，则函数 f(x) （   ）

A：$f\left(0\right)=0$ 且 $f\left(x\right)$ 为奇函数

B：$f\left(0\right)=0$ 且 $f\left(x\right)$ 为偶函数

C：$f\left(x\right)$ 为增函数且为奇函数

D：$f\left(x\right)$ 为增函数且为偶函数