已知定直线l：y=x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为

题干

已知定直线l：y=x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．

上一题下一题 0.0难度选择题更新时间:2019-08-11 07:34:48

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）

椭圆C过点A，所以4m+n①，

将y=x+3代入椭圆方程化简得：（m+n）x²+6nx+9n﹣1=0，

因为直线l与椭圆C相切，所以△=（6n）²﹣4（m+n）（9n﹣1）=0②，

解①②可得，