设集合M=[0，

1

2

），N=[

1

2

，1]，函数f（x）= {x+

1

2

，x∈M2(1−x)，x∈N ．若x₀∈M且f（f（x₀））∈M，则x₀的取值范围为（   ）

A：（0， $\frac{1}{4}$

B：0， $\frac{3}{8}$

C：（ $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$

D：（ $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ）