如图，已知=30°，点A₁，A₂， A₃，……射线ON上，点B₁，B₂， B₃..在射线OM上，，均为等边三角形，若OA₁=1.

(1) A₁A₂= ;
(2)求A₃A₄的长:
(3)根据你发现的规律直接写出A₂₀₁₉A₂₀₂₀的边长.

我们在“堆石子”游戏中发现：像图（1）中的这些数据能够表示成正方形，可将其称为正方形数；类似地，像图（2）中的这些数据能够表示成三角形，可将其称为三角形数.

（1）第个正方形数是  ；第个正方形数是  ；
（2）第个三角形数是  ；第个三角形数是  ；
（3）若将一堆小石子按一定规律摆成下列图形，请求出第个图形中“●”的个数.

用一定数目的点或大小相同的圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形数阵.古希腊著名数学家毕达哥拉斯用数，，，，，……这些数量的（石子），都成功的排成了等边三角形数阵..
（问题提出）结果等于多少？

在图1所示的等边三角形数阵中，前行有个圆圈，前行有个圆圈，即，前行有个圆圈，即，…，则前行所有圆圈个数总和为
将图1旋转至图2，观察这两个三角形数阵中同一行圆圈个数（如第行的圆圈个数分别为个，个），发现同一行圆圈个数之和均为___________个，由此可得两个图前行圆圈个数总和为：___________，因此，___________.
（问题延伸）结果等于多少？

图3

图4
在图3所示的等边三角形数阵中，第行圆圈中的数为，即，第行两个圆圈中数字的和为.即…，第行个圆圈中数字的和为（共个）.即.这样，该三角形数阵中所有圆圈中数字的和为.
将该三角形数阵经两次旋转可得如图4所示的三个三角形数阵，观察这三个三角形数阵中各行同一位置上圆圈中的数字（如第行的第一个圆圈中的数字分别为，，），发现相同位置上三个圆圈中数字之和均为___________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为：___________，因此，___________.
（规律应用）
根据以上发现，计算：的结果为___________.

用火柴棒按如图的方式搭“塔式三角形”，第一个图用了3根火柴棒，第二个图用了9根火柴棒，第三个图用了18根火柴棒，…，照这样下去，第n个图用了_____根火柴棒．（用含n的式子表达）

探究题：如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，它们的棋子数依次表示为 a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n．
…
请你认真观察上面四个图案，从中发现规律，并试着解答下列问题：
（1）写出 a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求 a₇的值；
（3）用 n 表示出 a_n，并判断第几个图案有 6055 个黑色棋子．