人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数压轴专题试题

1.

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：
若b'=

，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．
（1）①点（﹣

，1）的限变点的坐标是；
②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y=

图象上某一个点的限交点，这个点是；
（2）若点P在函数y=﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；
（3）若点P在关于x的二次函数y=x²﹣2tx+t²+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s=m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．

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2.

已知二次函数

的图象与

轴交于

、

两点，与

轴交于点

，点

的坐标为

，且当

和

时二次函数的函数值

相等．
（

）求实数

、

的值．
（

）如图

，动点

、

同时从

点出发，其中点

以每秒

个单位长度的速度沿

边向终点

运动，点

以每秒

个单位长度的速度沿射线

方向运动，当点

停止运动时，点

随之停止运动．设运动时间为

秒．连接

，将

沿

翻折，使点

落在点

处，得到

．
①是否存在某一时刻

，使得

为直角三角形?若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由．
②设

与

重叠部分的面积为

，求

关于

的函数关系式．

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3.

如图，抛物线y=﹣

+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，3），点D是x轴上一动点，连接CD，将线段CD绕点D旋转得到DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF．
（1）求抛物线解析式；
（2）若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90°得到，求线段DF的长；
（3）若线段DE是CD绕点D旋转90°得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点E的坐标．

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4.

如图，抛物线L₁：y=﹣x²+bx+c经过点A（1，0）和点B（5，0）已知直线l的解析式为y=kx﹣5．
（1）求抛物线L₁的解析式、对称轴和顶点坐标．
（2）若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
（3）当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值．
（4）将抛物线L₁在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线l与图象L₂有四个交点时k的取值范围．

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5.

如图1，已知抛物线L₁：y=﹣x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在L₁上任取一点P，过点P作直线l⊥x轴，垂足为D，将L₁沿直线l翻折得到抛物线L₂，交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．
（1）当L₁与L₂重合时，求点P的坐标；
（2）当点P与点B重合时，求此时L₂的解析式；并直接写出L₁与L₂中，y均随x的增大而减小时的x的取值范围；
（3）连接PM，PB，设点P（m，n），当n=

m时，求△PMB的面积．

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6.

如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax²+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

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7.

如图，平面直角坐标系中，直线l：y=

x+m交x轴于点A，二次函数y=ax²﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线l交于点D，已知CD与x轴平行，且S_△_ACD：S_△_ABD=3：5．
（1）求点A的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）点P为直线l上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转α°（0°＜α°＜360°）得到线段A'C'（点A，A'是对应点，点C，C'是对应点）．请问：是否存在这样的点P，使得旋转后点A'和点C'分别落在直线l和抛物线y=ax²﹣3ax+c的图象上？若存在，请直接写出点A'的坐标；若不存在，请说明理由．

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8.

有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1，0)，B(x₂，y₂)(点B在点A的右侧)；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．
(1)请根据以上信息求出二次函数表达式；
(2)将该函数图象x＞x₂的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C(x₃，y₃)、D(x₄，y₄)、E(x₅，y₅)(x₃＜x₄＜x₅)，结合画出的函数图象求x₃+x₄+x₅的取值范围．

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9.

若二次函数

和

的图象关于原点成中心对称，我们就称其中一个函数是另一个函数的中心对称函数，也称函数

和

互为中心对称函数．

求函数

的中心对称函数；

如图，在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为

，

，二次函数

的图象经过点E和原点O，顶点为

已知函数

和

互为中心对称函数；

请在图中作出二次函数

的顶点

作图工具不限

，并画出函数

的大致图象；

当四边形EPFQ是矩形时，请求出a的值；

已知二次函数

和

互为中心对称函数，且

的图象经过

的顶点当

时，求代数式

的最大值．

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10.

我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数

例如：

的友好同轴二次函数为

．

请你分别写出

，

的友好同轴二次函数；

满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？

如图，二次函数

：

与其友好同轴二次函数

都与y轴交于点A，点B、C分别在

、

上，点B，C的横坐标均为

，它们关于

的对称轴的对称点分别为

，

，连结

，

，CB．

若

，且四边形

为正方形，求m的值；

若

，且四边形

的邻边之比为1：2，直接写出a的值．

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11.

如图，在平面角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C₂：y=2x²+x+1，动直线x=t与抛物线C₁交于点N，与抛物线C₂交于点M．
（1）求抛物线C₁的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C₁与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C₂上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

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12.

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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13.

在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣

x²+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，

），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

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14.

如图1，抛物线C₁：y=ax²﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C₁的顶点为G．

（1）求出抛物线C₁的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C₁向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C₂，设C₂与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C₁、C₂于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

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15.

如图1，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+

分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

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16.

直线y=﹣

x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣

x²+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．
（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；
（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．